斐波那契数列的四种实现

江水滔滔

孔乙己自己知道不能和他们谈天，便只好向 Intern 说话。有一回对我说道，“你写过代码么？”我略略点一点头。他说，“写过代码，……我便考你一考。斐波那契数列的输出，怎样实现？”我想，讨饭一样的人，也配考我么？便回过脸去，不再理会。孔乙己等了许久，很恳切的说道，“不能写罢？……我教给你，记着！这些代码应该记着。将来做 Leader 的时候，开发项目要用。”我暗想我和 Leader 的等级还很远呢，而且我们 Leader 也从不在项目里写斐波那契；又好笑，又不耐烦，懒懒的答他道，“谁要你教，不是递归么？”孔乙己显出极高兴的样子，将两个指头的长指甲敲着键盘，点头说，“对呀对呀！……斐波那契有四样写法，你知道么？”我愈不耐烦了，努着嘴走远。孔乙己刚在命令行打开 Vim，想在里面写代码，见我毫不热心，便又叹一口气，显出极惋惜的样子。（改编自 鲁迅《孔乙己》）
在家闲着也是闲着，不如我们来看看，如何写一个输出斐波那契数列的代码吧。

先说下，什么是斐波那契数列？

斐波那契（Fibonacci）数列，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：

1、1、2、3、5、8、13、21、34……

在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：

F(1) = 1

F(2) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) （n ≥ 3，n ∈ N*）

简单来讲就是：数列中某一项的值，等于它的前一项加上前前一项的和。

在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从 1963 年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。（摘自 百度百科）

我曾经也把手写斐波那契作为面试题之一。
1. 递归
在编程教程中提到斐波那契数列，通常都是用来讲解递归函数。当一个关于 N 的问题可以转换为关于 N - k 的同样问题时，它就可以尝试用递归的思路来解决。

1. def fib_1(n):
2.   if n <= 1:
3.       return 1
4.   return fib_1(n-1) + fib_1(n-2)
6. for i in range(20):
7.     print(fib_1(i), end=' ')

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2. 循环
但斐波那契并非一定要用递归实现。事实上，所有的递归都可以用循环来实现。

1. def fib_2(n):
2.     a, b = 0, 1
3.     for i in range(n):
4.         print(b, end=' ')
5.         a, b = b, a + b
7. fib_2(20)

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3. 生成器
用生成器的思路本质来说和上面的循环是一样的，只是实现的时候用了 yield。

1. def fib_3(n):
2.     a, b = 0, 1
3.     while n > 0:
4.         yield b
5.         a, b = b, a + b
6.         n -= 1
8. for i in fib_3(20):
9.     print(i, end=' ')

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4. 矩阵相乘
此方法的原理是利用二阶矩阵的相乘：

1. import numpy as np
3. def fib_4(n):
4.     for i in range(n):
5.         res = pow(np.matrix([[1, 1], [1, 0]], dtype='int64'), i) * np.matrix([[1], [0]])
6.         print(int(res[0][0]), end=' ')
8. fib_4(20)

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上述 4 种方法的输出结果都是：

1. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

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斐波那契数列的实现方法并不仅这 4 种。如果你有其他的实现，欢迎在留言中补充。


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